Louis-Alexandre Gaitet naît à Marsannay-la-Côte le 26 mars 1836 de Louis-Alexandre Gaitet et d’Émilie Marey. Enfant, il fait preuve de dispositions marquées pour le dessin et la peinture, si bien qu’à 12 ans, en 1848, il entre à l’École des beaux-arts de Dijon et suit les cours du peintre Jean-Auguste Devillebichot. Remarqué, il est envoyé à Paris en 1855 et entre, en 1856, dans l’atelier du peintre François-Édouard Picot de l’Institut. Il est admis au Salon de Paris en 1859 où il expose un portrait.
Le 7 août 1863, Louis Gaitet épouse la fille de son maître Devillebichot et s’établit à Dijon en 1868. Le 1er janvier 1872, il est nommé professeur de dessin à l’École des beaux-arts de cette ville, et, le 17 mars 1881, y joint le cours d’ornement et de composition décorative jusqu’à sa retraite en 1899.
Le 16 août 1892, il devient conservateur adjoint du musée de Dijon et le demeure jusqu’à sa mort. Il rédige et publie en 1917 le catalogue raisonné de la riche collection d’œuvres et d’objets d’art qu’Henri et Sophie Grangier lèguent à la Ville et au Musée en 1906.
Il réalise le Portrait de Sophie Grangier au milieu de ses collections, ainsi que le Portrait de François Dameron (1866), son collègue sculpteur de l’École des beaux-arts qui exécutera son portrait sous forme d’un médaillon en marbre. Louis Gaitet peint également des scènes de genre : Joueurs de boules, Italienne à la fontaine, des compositions historiques : Ouverture du Pas d’Armes de Marsannay-la-Côte en 1443, ainsi que des paysages : Combe de Gouville, Vue de Dijon et de Talant depuis le Creux-d’Enfer. Il s’adonne aussi au dessin, ainsi qu’à la lithographie et l’eau-forte : Portrait de Jules Mercier, le musicien dijonnais qui lui enseigna le violon.
Élu en 1877 membre associé de la Commission des antiquités de la Côte-d’Or, il en devient membre titulaire en 1881. Officier d’Académie, il est fait officier de l’Instruction publique en 1900. Louis Gaitet se retire, les dernières années de sa vie, dans sa maison de Marsannay-la-Côte où il s’éteint, après une courte maladie, le 13 décembre 1919.